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浙江大学概率论与数理统计视频完整版配套笔记:
内容安排:1随机等骨
2.离散型随机变量及其分布律
3.随机变量的分布函数
4.连续型随机变量及其概率密度
5.随机变量的函数的分布
91随机恋晶
在第一章我们介绍了一些随机试验和样本空
间,如
E:抛掷一枚硬币,观察正面H、反面T出现的情况:S.=,T};E2:将一硬币抛掷三次,观察正面H、反面T出现的情况:S2=Ⅲ HHT HTHTHH HTT THTTTH TT}
E。:将一硬币抛三次观察出现正面的次数:
E3:13DOI6'CHm
抛一颗酸子,观察出现的点数:
它们的结果可以用数来表示,有些则不然。
当样本空间s的元素不是一个数时,人们对于s就难以描述和研究,下面来讨论如何引入一个法则,将随机试验的每一个结果,即s的每个元素e与实数x对应起来。从而引入了随机变量的概念。
例.掷一枚硬币,观察正面、反面出现的情况。记H=“正面朝上”,T=“反面朝上”。
X是定义在-,上的函数,是随机变量。
定义设随机试验E的样本空间为s,如果对于每一个eEs,都有唯一的一个实数×(e)与之对应,则称x(e)为随机变量,并简记为x。
注意:
1.X是定义在Q上的实值、单值函数。
2.因随机试验的每一个结果的出现都有一定的概率,所以随机变量x的取值也有一定的概率。
3.随试验结果不同,X取不同的值,试验前可以知道它的所有取值范围,但不知确定取什么值。本课程中,一般以大写字母x,Y,ZW…表示随机变量,而以小写字母y,z,…表示实数。
通常定义在样本空间上随机变量不惟一,即可在同一样本空间上定义多个随机变量,实际中总选择符合实际意义且较简单的随机变量。
实际上,随机事件为部分样本点的集合,而在样本空间上定义一随机变量之后,每一样本点对应随机变量的一个取值。部分样本点的集合,即为随机变量部分取值的集合,即随机变量的部分取值的集合为随机事件。这样讨论样本点与随机事件的概率就转化为讨论随机变量的可能取值与取值集合的概率。
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概率论与数理统计
一、随机事件和概率
考试内容
随机事件与样本空间,事件的关系与运算,完备事件组,概率的定义,概率的基本性质,古典型概率,几何型概率,条件概率,概率的加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯(Bayes)公式,事件的独立性,独立重复试验。
考试要求
1.了解样本空间(基本事件空间)的概念,理解随机事件的概念,掌握事件的关系与运算.
2.理解概率、条件概率的概念,掌握概率的基本性质,会计算古典型概率和几何型概率,,掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式,以及贝叶斯公式.
3.理解事件的独立性的概念,掌握用事件独立性进行概率计算;理解独立重复试验的概念,掌握计算有关事件概率的方法。
二、随机变量及其概率分布
考试内容
随机变量,随机变量的分布函数的概念及其性质,离散型随机变量的概率分布,连续型随机变量的概率密度,常见随机变量的概率分布,随机变量函数的分布
考试要求
1.理解随机变量的概念,理解分布函数
F(x)=P( -∞<x <+∞ )
的概念及性质.会计算与随机变量相联系的事件的概率。
2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念,掌握0-l分布、二项分市、几何分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布及其应用。
3.了解泊松(Poisson)定理的结论和应用条件,会应用泊松(Poisson)分布近似表示二项分布。
4、理解连续型随机变量及其概率密度的概念,掌握概率密度与分布函数之间的关系,掌握正态分布、均匀分布、指数分布(概率密度为f(x) )及其应用。
4.会求随机变量函数的分布。
三、二维随机变量及其概率分布
考试内容
多维随机变量及其分布,二维随机变量及其联合(概率)分布,二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布,二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度,随机变量的独立性与不相关性,常用二维随机变量的分布,两个及两个以上随机变量的简单函数的分布。
考试要求
1. 理解多维随机变量的概念, 理解多维随机变量的分布的概念和性质,理解二维随机变量的概念,理解二维随机变量的分布的概念和性质,理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布;理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度.会求与二维随机变量相关的事件的概率.
2.理解随机变量的独立性及不相关的概念,掌握随机变量相互独立的条件。
3.掌握二维均匀分布,了解二维正态分布的概率密度,理解其中参数的概率意义。
4.会求两个随机变量的简单函数的分布,会求多个相互独立随机变量简单函数的分布。
四、随机变量的数字特征
考试内容
随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质,随机变量函数的数学期望(均值)、矩、协方差和相关系数及其性质。
考试要求
1.理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)的概念,并会运用数字特征的基本性质,计算具体分布的数字特征,并掌握常用分布的数字特征。
2、会根据随机变量X的分布求其函数g(X)的数学期望Eg(X);会根据随机变量X与Y的联合分布求其函数g(x,y)的数学期望Eg(x、y).
五、大数定律和中心极限定理
考试内容
切比雪夫(Chebyshev)不等式,切比雪夫大数定律,伯努利大数定律,辛钦(Khinchine)大数定律,列维一林德伯格(Levy-Lindberg)定理(独立同分布的中心极限定理),棣莫弗一拉普拉斯(De Moivre-Laplace)定理
1.了解切比雪夫不等式.
2.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量序列的大数定律)成立的条件及结论。
3.了解列维一林德伯格定理(独立同分布的中心极限定理)和棣莫弗一拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布)的应用条件和结论,并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。
六、数理统计的基本概念
考试内容
总体、个体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差和样本矩,x2分布,t分布,F分布,分位数,正态总体的常用抽样分布。
考试要求
1.理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念,了解经验分布函数.
2.了解x’分布、t分布和F分布的定义及性质,了解上侧α分位数了解分数位的概念并会查表计算.
3.了解正态总体的常用抽样分布.
七、参数估计
考试内容
点估计的概念,估计量与估计值,矩估计法,最大似然估计法,估计量的评选标准,区间估计的概念,单个正态总体的均值和方差的区间估计,两个正态总体的均值差和方差比的区间估计
考试要求
1.理解参数的点估计、估计量与估计值的概念.
2.掌握矩估计法(一阶、二阶矩)和最大似然估计法.
3.了解估计量的无偏性、有效性(最小方差性)和一致性(相合性)的概念,并会验证估计量的无偏性.
4. 理解区间估计的概念,会求单个正态总体的均值和方差的置信区间,会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间.
八、假设检验
考试内容
显著性检验,假设检验的两类错误,单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验。
考试要求
1.理解显著性检验的基本思想,掌握假设检验的基本步骤,了解假设检验可能产生的两类错误.
2.了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验。
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《概率统计》是高等院校理工类、经管类的重要课程之一。在考研数学中的比重大约占22%左右。主要内容包括:概率论的基本概念、随机变量及其概率分布、数字特征、大数定律与中心极限定理、统计量及其概率分布、参数估计和假设检验、回归分析、方差分析、马尔科夫链等内容。
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